El problema del cumpleaños

El problema del cumpleaños (en inglés, birthday problem) pregunta cuántas personas tiene que haber en una sala para que sea más probable que improbable que dos de ellas cumplan años el mismo día. La respuesta es 23, y casi todo el mundo la encuentra increíble la primera vez. Con 23 personas, la probabilidad de al menos una coincidencia es del 50,7 por ciento; con 40 pasa del 89, y con 57, del 99. Para tener la certeza absoluta hacen falta 366, pero la certeza práctica llega mucho antes: en un aula de 70 alumnos, que no haya ningún cumpleaños repetido es un suceso de menos de uno entre mil.

No es una paradoja en sentido estricto, porque no hay ninguna contradicción lógica, sino un choque entre el resultado y la intuición, y la figura permite ver de dónde viene el choque. Arriba hay un calendario del año con un cuadro por día; cada vez que se reúne un grupo, los días de sus cumpleaños se pintan en negro, y los que se repiten, en naranja. Abajo están dos curvas. La naranja es la probabilidad de que coincidan dos personas cualesquiera del grupo; la discontinua, la de que alguien del grupo cumpla años el mismo día que tú.

La distancia entre las dos curvas es toda la explicación. Cuando alguien piensa en el problema, casi siempre se pregunta sin darse cuenta si otra persona de la sala cumple años el mismo día que él, y esa probabilidad es pequeña de verdad: con 22 personas más, cada una tiene 364 posibilidades sobre 365 de no coincidir, y la probabilidad de que alguna coincida es de un 5,9 por ciento. Para que esa segunda curva llegue a la mitad hacen falta 253 personas. Pero la pregunta no era esa. Con 23 personas no hay 22 comparaciones sino todas las parejas posibles, que son 23 × 22 / 2 = 253, y cada una de esas parejas es una oportunidad de coincidencia. El número de parejas crece con el cuadrado del grupo, y la intuición, que cuenta personas, crece en línea recta.

El cálculo exacto se hace por el lado contrario, contando la probabilidad de que no coincida nadie. La primera persona puede cumplir años cualquier día. La segunda tiene que evitar uno, con probabilidad 364/365; la tercera, dos, con 363/365, y así sucesivamente. La probabilidad de que las n tengan días distintos es el producto de todas esas fracciones, y la de al menos una coincidencia es uno menos ese producto:

La aproximación de la derecha deja ver la forma del resultado: la probabilidad depende del número de parejas, n(n − 1)/2, dividido por el número de días. Por eso la mitad se alcanza cuando el grupo anda por la raíz cuadrada de los días posibles, multiplicada por un factor de 1,18. Con 365 días, esa raíz es 19 y el umbral cae en 23. Con un calendario de un millón de días, bastarían unas 1.200 personas.

La historia del problema es confusa, como corresponde a un acertijo que circulaba de boca en boca. La primera versión publicada suele atribuirse al matemático austríaco Richard von Mises, que la incluyó en 1939 en un artículo sobre problemas de ocupación escrito en Estambul, donde se había exiliado. El matemático inglés Harold Davenport contaba que él la había propuesto antes, sin llegar a publicarla. Quien la popularizó fue William Feller, que la incluyó en 1950 en el primer volumen de su manual de probabilidad, del que pasó a casi todos los que vinieron después.

Hay dos supuestos en el cálculo que la realidad no cumple, y ninguno de los dos salva a la intuición. El primero es que los 365 días son igual de probables. No lo son: en casi todos los países hay meses con más nacimientos que otros, y en los hospitales con muchos partos programados hay menos nacimientos en fin de semana. Pero cualquier desigualdad en el reparto hace las coincidencias más probables, no menos, porque concentra a la gente en menos días, así que 23 es el peor caso. El segundo supuesto es que no hay gemelos en la sala, y un par de gemelos resuelve el problema con probabilidad uno. El 29 de febrero, que se suele ignorar, apenas cambia la cifra.

Persi Diaconis y Frederick Mosteller, entonces los dos en Harvard, usaron el problema en 1989 como punto de partida de un estudio sobre las coincidencias en general. Su conclusión es lo que llamaron la ley de los números verdaderamente grandes (law of truly large numbers): con una muestra suficientemente grande, cualquier cosa extraordinaria acabará ocurriendo. Una coincidencia que tiene una probabilidad de una entre un millón le sucede cada día a ocho mil personas en un mundo de ocho mil millones de habitantes, y es a ellas a las que se entrevista. La mayor parte de las casualidades asombrosas son problemas del cumpleaños mal planteados: se calcula la probabilidad de que le ocurra algo concreto a una persona concreta, cuando la pregunta pertinente es la de que le ocurra algo de ese estilo a alguien. Es el mismo mecanismo que hace peligrosas las comparaciones múltiples en la ciencia.

El caso donde el problema del cumpleaños tiene consecuencias más serias es la criptografía, que lo usa como arma y como medida. Una función hash criptográfica resume cualquier documento en una huella de tamaño fijo, digamos de b bits, y es segura si nadie puede encontrar dos documentos distintos con la misma huella. Buscar un documento que coincida con una huella dada exige probar del orden de $2^b$ documentos, pero encontrar dos cualesquiera que coincidan entre sí solo exige unos $2^{b/2}$, exactamente por la misma razón por la que 23 personas bastan con 365 días. Gideon Yuval lo explicó en 1979 con un ejemplo de estafa: se preparan muchas variantes inocentes de un contrato favorable y muchas de uno perjudicial, cambiando comas y espacios, hasta encontrar una de cada tipo con la misma huella; la víctima firma la primera y la firma vale para la segunda. A ese procedimiento se le llama ataque de cumpleaños (birthday attack), y es la razón por la que una huella de 128 bits solo ofrece 64 de seguridad frente a colisiones y las funciones actuales usan 256.

Al final, el problema es un recordatorio de algo que se repite en toda la estadística: el azar produce coincidencias mucho más a menudo de lo que parece, porque las oportunidades de coincidir crecen mucho más deprisa que las cosas que pueden coincidir. En una reunión de treinta personas, apostar a que hay dos que cumplen el mismo día es una apuesta con siete posibilidades de diez a favor, y quien la acepta en contra suele hacerlo convencido de que la ventaja es suya.