El problema de Monty Hall

El problema de Monty Hall es un acertijo de probabilidad con tres puertas, un coche y dos cabras, célebre porque su respuesta correcta —cambiar de puerta dobla las posibilidades de ganar— es rechazada de forma casi unánime la primera vez que se oye, incluidos matemáticos profesionales. Toma su nombre del presentador del concurso estadounidense Let’s Make a Deal, y su formulación canónica es esta: el concursante elige una de tres puertas; el presentador, que sabe dónde está el coche, abre una de las otras dos y muestra una cabra; después ofrece al concursante la posibilidad de cambiar a la puerta cerrada que queda. ¿Le conviene cambiar?

La intuición dice que no importa. Quedan dos puertas, el coche está detrás de una de ellas, y por tanto son cincuenta por ciento cada una. El razonamiento parece impecable y es falso, y la figura permite comprobarlo de la manera menos discutible: jugando. Elige una puerta, mira la que abre el presentador, decide, y anota. Después deja que la máquina juegue diez mil partidas con cada estrategia. Quien se mantiene gana una de cada tres; quien cambia gana dos de cada tres. La gráfica de abajo muestra las dos frecuencias acercándose a sus valores teóricos, dibujados a trazos, a medida que se acumulan partidas.

La explicación más corta es que la primera elección acierta una de cada tres veces, y que el presentador no cambia eso. Si el concursante eligió bien, cosa que ocurre con probabilidad un tercio, cambiar le hace perder. Si eligió mal, cosa que ocurre con probabilidad dos tercios, el presentador está obligado a abrir la única cabra que queda y la puerta cerrada restante tiene el coche: cambiar le hace ganar. La estrategia de cambiar gana exactamente cuando la primera elección fue errónea, y eso es dos de cada tres veces. La estrategia de mantenerse gana cuando la primera elección fue correcta, una de cada tres.

Lo que hace difícil el problema es que la puerta abierta parece información neutra y no lo es. El presentador no abre una puerta al azar: abre una que sabe que no tiene el coche, y elegida además entre las que el concursante no señaló. Ese conocimiento se transfiere a la puerta que deja cerrada. Steve Selvin, el estadístico que planteó el problema en 1975 en The American Statistician, subrayó en su segunda carta que la solución depende de esa regla: si el presentador abriera una puerta al azar y por casualidad mostrara una cabra, entonces sí serían cincuenta por ciento. El enunciado importa, y buena parte de las discusiones sobre el problema son discusiones sobre qué enunciado se está resolviendo.

El selector de puertas de la figura es el argumento que mejor funciona con quien no se convence. Con cien puertas, el concursante elige una, el presentador abre noventa y ocho con cabras y deja una cerrada. Casi nadie cree que su primera elección, una entre cien, tenga las mismas posibilidades que esa única puerta que el presentador, sabiendo dónde está el coche, ha evitado abrir. La probabilidad de que el coche esté ahí es del 99 %. El caso de tres puertas es exactamente el mismo mecanismo, con números menos escandalosos.

La fama del problema viene de 1990. Marilyn vos Savant respondió en su columna de la revista Parade, que llegaba a millones de hogares, que había que cambiar. Recibió alrededor de diez mil cartas, un millar de ellas firmadas por personas con doctorado, y la gran mayoría le decía que estaba equivocada, a menudo con condescendencia. Vos Savant mantuvo su respuesta durante tres columnas más y pidió a los profesores de matemáticas de todo el país que hicieran el experimento en clase con vasos y monedas; los resultados que le enviaron confirmaron los dos tercios. John Tierney contó el episodio en The New York Times en 1991, y el propio Monty Hall, entrevistado, jugó la partida en su salón con el periodista y reprodujo el resultado, aunque advirtió que en el programa real él no seguía ninguna regla fija y a veces ofrecía dinero para que el concursante no cambiara. También Paul Erdős, uno de los matemáticos más prolíficos del siglo XX, se negó a aceptar la respuesta hasta que su colega Andrew Vázsonyi le enseñó una simulación por ordenador, según cuenta Paul Hoffman en su biografía del matemático.

La psicología ha estudiado el problema como un caso extremo de intuición resistente. Donald Granberg y Thad Brown encontraron en 1995 que solo alrededor del 13 % de los participantes cambiaba de puerta en el primer intento, y que muchos seguían sin cambiar tras varias partidas con retroalimentación. Stefan Krauss y X. T. Wang identificaron en 2003 los dos obstáculos principales: la gente tiende a razonar sobre la situación final —dos puertas— en vez de sobre el proceso que llevó a ella, y no considera que el presentador tenía restricciones. Cuando el problema se reformula pidiendo al participante que imagine las tres posibles posiciones del coche una por una, las respuestas correctas suben del 3 % a más del 60 %. Es la misma lección que la del falso positivo: la intuición mejora cuando se cuentan casos en lugar de manipular probabilidades.

El dato más humillante lo aportaron Walter Herbranson y Julia Schroeder en 2010, con palomas. Entrenaron a seis aves en una versión del problema con tres teclas luminosas y grano como premio. Al cabo de un mes, las palomas cambiaban de tecla en casi todas las partidas, la estrategia óptima. Un grupo de estudiantes universitarios sometido al mismo procedimiento, con las mismas partidas y la misma retroalimentación, seguía cambiando solo en dos de cada tres ocasiones al final del experimento. Las palomas aprendían de la frecuencia de los resultados; los humanos parecían aprender de una teoría sobre la situación, y la teoría era mala. La gráfica de esta página hace, para quien la mire, lo que el grano hizo por las palomas.