# Varianza poblacional (distribuciones de probabilidad) - Sitio: Ikusmira — enciclopedia en castellano de ciencias sociales y humanidades - URL canónica: https://ikusmira.org/p/varianza-poblacional-distribuciones-de-probabilidad/ - Categoría: Matemática y estadística - Publicado: 2024-07-22 - Autoría: Josemari Sarasola Ledesma — Editor coordinador; Profesor titular de escuela universitaria, Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea - Perfiles del autor: https://ekoizpen-zientifikoa.ehu.eus/investigadores/127490/detalle, https://dialnet.unirioja.es/servlet/autor?codigo=333202 - Política editorial (autoría, revisión, correcciones, financiación): https://ikusmira.org/politica-editorial/ La **varianza poblacional**, también denominada en general **varianza de una variable aleatoria**, o **varianza de una distribución de probabilidad** en concreto, es una medida de dispersión estadística de una variable aleatoria o distribución de probabilidad. Se denota por $\sigma^2$ (sigma cuadrado) y viene dada por el momento central de segundo orden correspondiente a la variable aleatoria $X$ en cuestión, siendo $\mu$ la media poblacional o esperanza matemática: $$\sigma^2=\mu_2=E[(X-\mu)^2]$$ Desarrollando la definición anterior puede calcularse también en términos de momentos respecto al origen: $$\sigma^2=\alpha_2-\alpha_1^2=E[X^2]-\mu^2$$ Su cálculo en la práctica difiere según nos encontremos ante una variable aleatoria discreta o una variable aleatoria continua. Examinemos cada caso. **Varianza de una distribución de probabilidad discreta** Denotando $x_i$ y $p(x_i)$ los diferentes valores que tomas la variable aleatoria y $$\sigma^2=\sum(x_i-\mu)^2p(x_i)=\sum x_i^2p(x_i) - (\sum x_ip(x_i))^2$$ **Ejemplo** Vamos a calcular la varianza de la puntuación obtenida al lanzar un dado equilibrado. Para ello partimos de la distribución de probabilidad de dicha puntuación en las primeras dos columnas:

$x_i$	$p(x_i)$	$x_ip(x_i)$	$x_i^2p(x_i)$
1	1/6	1/6	1/6
2	1/6	2/6	4/6
3	1/6	3/6	9/6
4	1/6	4/6	16/6
5	1/6	5/6	25/6
6	1/6	6/6	36/6
		suma=21/6=3.5	suma=91/6=15.16

De este modo, la varianza de la puntuación obtenida al lanzar un dado equilibrado: $$\sigma^2=\sum x_i^2p(x_i) - (\sum x_ip(x_i))^2=15.16-3.5^2=2.91$$ --- Cómo citar: Sarasola, Josemari (2024). «Varianza poblacional (distribuciones de probabilidad)». Ikusmira. https://ikusmira.org/p/varianza-poblacional-distribuciones-de-probabilidad/ Índice del sitio para modelos: https://ikusmira.org/llms.txt

\(x_i\)	\(p(x_i)\)	\(x_ip(x_i)\)	\(x_i^2p(x_i)\)
1	1/6	1/6	1/6
2	1/6	2/6	4/6
3	1/6	3/6	9/6
4	1/6	4/6	16/6
5	1/6	5/6	25/6
6	1/6	6/6	36/6
		suma=21/6=3.5	suma=91/6=15.16