# La ley de los grandes números - Sitio: Ikusmira — enciclopedia en castellano de ciencias sociales y humanidades - URL canónica: https://ikusmira.org/p/la-ley-de-los-grandes-numeros/ - Categoría: Matemática y estadística - Publicado: 2026-05-01 - Autoría: Josemari Sarasola Ledesma — Editor coordinador; Profesor titular de escuela universitaria, Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea - Perfiles del autor: https://ekoizpen-zientifikoa.ehu.eus/investigadores/127490/detalle, https://dialnet.unirioja.es/servlet/autor?codigo=333202 - Política editorial (autoría, revisión, correcciones, financiación): https://ikusmira.org/politica-editorial/ La **ley de los grandes números** (en inglés, *law of large numbers*) dice que la media de muchas repeticiones independientes de un mismo experimento se acerca a su valor esperado a medida que crece el número de repeticiones. Si una moneda tiene la misma probabilidad de salir cara que cruz, la proporción de caras en diez lanzamientos puede ser cualquier cosa entre el cero y el uno, en mil rara vez sale de la franja entre el 47 y el 53 por ciento, y en un millón no se separa del 50 más que unas décimas. Es el resultado que convierte la probabilidad, que habla de lo que puede pasar en un caso, en frecuencia, que es lo que se observa cuando los casos se acumulan, y sin él no existirían ni las encuestas ni los seguros ni la [inferencia estadística](https://ikusmira.org/p/prueba-de-hipotesis-contraste-de-hipotesis/) entera. La figura lanza cinco series a la vez. Cada línea es la proporción de aciertos acumulada de una serie, y la franja naranja marca dos [errores típicos](https://ikusmira.org/p/error-tipico-error-estandar/) alrededor de la probabilidad verdadera, que es donde deberían caer casi todas las series en cada momento. Al principio las cinco líneas saltan de un extremo a otro; hacia los cien lanzamientos ya van juntas, y a los diez mil son casi una sola raya pegada a la probabilidad. La tabla de debajo cuenta otra historia, que es la mitad de la ley que casi nadie aprende. La columna del desvío resta, en cada serie, los aciertos obtenidos menos los que tocarían según la probabilidad. Tras diez lanzamientos de moneda, lo normal es ir una o dos caras por encima o por debajo de cinco. Tras diez mil, lo normal es ir unas cuarenta por encima o por debajo de cinco mil, y ese desvío absoluto no deja de crecer: aumenta con la raíz cuadrada del número de lanzamientos. La proporción se acerca a la mitad a pesar de ello, porque cuarenta caras de más sobre diez mil son un 0,4 por ciento y sobre un millón serían, con un desvío típico de quinientas, un 0,05. La ley no dice que las caras y las cruces acaben igualadas. Dice que su diferencia crece más despacio que el total. Esa distinción es la que separa la ley de su caricatura, la falacia del jugador (*gambler's fallacy*): la creencia de que, después de una racha de rojos en la ruleta, el negro «se debe» y es más probable. La ruleta no tiene memoria y cada tirada es independiente de las anteriores, así que la probabilidad del negro sigue siendo la misma después de veinte rojos que después de ninguno. El caso más citado ocurrió en el casino de Montecarlo el 18 de agosto de 1913, cuando el negro salió veintiséis veces seguidas y los jugadores perdieron fortunas apostando al rojo a partir de la décima o la decimoquinta. Lo que la ley promete es que esa racha acabará pesando poco en la proporción de dentro de un millón de tiradas, porque quedará sumergida entre las demás, no que la ruleta vaya a devolver lo que se llevó. Amos Tversky y Daniel Kahneman dieron nombre en 1971 a una versión más sutil del mismo error, que encontraron en psicólogos profesionales: la creencia en la ley de los pequeños números (*belief in the law of small numbers*). Consiste en esperar que una muestra pequeña se parezca a la población tanto como una grande, y lleva a sobrevalorar resultados obtenidos con pocos casos, a esperar que una réplica salga igual que el original y a buscar explicaciones para desviaciones que son puro ruido. La ley de los grandes números es, precisamente, una ley de números grandes, y no dice nada de cuánto se parece a la probabilidad una muestra de veinte. La primera demostración es de Jakob Bernoulli, que trabajó en ella unos veinte años y la llamó su teorema áureo. Se publicó en 1713, ocho años después de su muerte, en la cuarta parte del *Ars Conjectandi*, y lo que demuestra es que, con una urna de proporción conocida, la probabilidad de que la frecuencia observada se aleje de esa proporción más de un margen fijado tiende a cero con el número de extracciones. Bernoulli quiso además dar una cifra y calculó que, con una urna de tres bolas blancas por cada dos negras, hacían falta 25.550 extracciones para tener una certeza de mil contra uno de que la frecuencia quedaba a menos de una quincuagésima de la verdadera. La cota era muy pesimista, y los cálculos posteriores con la [distribución normal](https://ikusmira.org/p/distribucion-normal/) la redujeron a unos pocos miles, pero hay historiadores, como Stephen Stigler, que ven en aquel número desalentador una de las razones por las que Bernoulli dejó el libro sin terminar. El nombre de ley de los grandes números se lo puso Siméon Denis Poisson en 1837, en un tratado sobre la probabilidad de que los jurados acierten. Lo que Bernoulli demostró se llama hoy ley débil (*weak law*): para cualquier margen, la probabilidad de estar fuera de él tiende a cero. La ley fuerte (*strong law*), que Émile Borel demostró para las monedas en 1909 y Andréi Kolmogórov generalizó en los años treinta, dice algo más exigente: que con probabilidad uno, la sucesión entera de proporciones converge al valor esperado, de modo que las series que se desvían para siempre, aunque existan en teoría, tienen probabilidad nula. En la figura se ve la diferencia sin fórmulas: la ley débil habla de dónde está cada serie en un momento dado, y la fuerte, de la trayectoria completa de cada línea. Mientras tanto, hubo quien lo comprobó a mano. El conde de Buffon lanzó una 4.040 veces en el siglo XVIII y obtuvo 2.048 caras. Karl Pearson llegó a 24.000 lanzamientos con 12.012 caras. El más célebre lo hizo John Kerrich, profesor de matemáticas en Johannesburgo, que estaba de visita en Copenhague cuando Alemania invadió Dinamarca en 1940 y pasó la guerra internado en un campo de Jutlandia. Allí, con un compañero de encierro, lanzó una moneda diez mil veces y anotó cada resultado. Obtuvo 5.067 caras, un desvío de 67 sobre lo esperado y una proporción de 0,5067, y publicó en 1946 las tablas completas junto con las curvas de la proporción acumulada, que tienen exactamente la forma de las de la figura. La ley tiene condiciones, y la principal es que el valor esperado exista. Hay distribuciones que no lo tienen, como la de Cauchy, que es la del punto donde cae sobre una pared la luz de una linterna apuntada en una dirección al azar: sus colas son tan pesadas que un solo valor extremo puede mover la media de cualquier muestra, y la media de un millón de observaciones no es más estable que una sola. Con colas menos extremas, como las de la [distribución de Pareto](https://ikusmira.org/p/la-distribucion-de-pareto/) que describe las fortunas, la media converge, pero tan despacio que en la práctica la de una muestra depende sobre todo de si ha entrado en ella algún multimillonario. La otra condición es la independencia, o algo parecido: si los casos se contagian unos a otros, como las opiniones en una red o las quiebras en una crisis, la ley no garantiza nada. Donde se cumple, es el cimiento de negocios enteros. Una aseguradora no sabe qué casa se va a quemar, pero con cien mil pólizas sabe con bastante precisión cuántas, y cobra en consecuencia. Un casino no sabe quién va a ganar esta noche, pero con la ventaja del cero en la ruleta, 1/37 de cada apuesta, sabe cuánto ganará en un año. Una encuesta con mil entrevistas acierta la proporción de votantes con un margen de unos tres puntos por la misma razón, siempre que las entrevistas sean una muestra al azar, que es donde suelen fallar, como explica el artículo sobre [la encuesta electoral](https://ikusmira.org/p/la-encuesta-electoral/). La ley de los grandes números dice a qué valor se acerca la media; el [teorema central del límite](https://ikusmira.org/p/el-teorema-central-del-limite/) completa el cuadro diciendo con qué forma se reparten sus fluctuaciones alrededor de ese valor, que es la forma de campana que dibuja la franja naranja. ## Fuentes - Jakob Bernoulli — *Ars Conjectandi*, Thurneysen, Basilea (1713) - Siméon Denis Poisson — *Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile*, Bachelier, París (1837) - John E. Kerrich — *An Experimental Introduction to the Theory of Probability*, Einar Munksgaard, Copenhague (1946) - Amos Tversky y Daniel Kahneman — *Belief in the law of small numbers*, Psychological Bulletin 76 (2) (1971) — https://doi.org/10.1037/h0031322 - Stephen M. Stigler — *The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900*, Harvard University Press (1986) --- Cómo citar: Sarasola, Josemari (2026). «La ley de los grandes números». Ikusmira. https://ikusmira.org/p/la-ley-de-los-grandes-numeros/ Índice del sitio para modelos: https://ikusmira.org/llms.txt