# Función de distribución - Sitio: Ikusmira — enciclopedia en castellano de ciencias sociales y humanidades - URL canónica: https://ikusmira.org/p/funcion-de-distribucion/ - Categoría: Matemática y estadística - Publicado: 2024-11-20 - Autoría: Josemari Sarasola Ledesma — Editor coordinador; Profesor titular de escuela universitaria, Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea - Perfiles del autor: https://ekoizpen-zientifikoa.ehu.eus/investigadores/127490/detalle, https://dialnet.unirioja.es/servlet/autor?codigo=333202 - Política editorial (autoría, revisión, correcciones, financiación): https://ikusmira.org/politica-editorial/ En teoría de probabilidades, la **función de distribución, también llamada función de distribución acumulada o función de distribución acumulativa (FDA)**, es una función que proporciona, en el caso de una distribución de probabilidad unidimensional, para un valor x dado, la probabilidad de que una variable aleatoria X tome **un valor igual o inferior** a ese valor x. La definición se extiende de modo análogo a variables aleatorias multidimensionales. Se designa con la letra mayúscula F: $$F_X(x)=P[X \leq x]$$ Dado que la función de distribución proporciona la probabilidad acumulada para una distribución hasta un valor x, los valores que proporciona están comprendidos **entre 0 y 1**. Al tratarse de una probabilidad acumulada, la función de distribución es **creciente**. La función de distribución es una de las formas de definir una distribución de probabilidad, pudiéndose calcular cualquier probabilidad a partir de ella, a través de sencillos cálculos de probabilidades. **Función de distribución para una variable aleatoria discreta** Dado que en una variable aleatoria discreta, los valores posibles están aislados, la función de distribución **avanza a saltos** según se avanza a lo largo de dichos valores. Por ejemplo, al lanzar un dado y observar la puntuación obtenida, la función de distribución correspondiente a la puntuación 2 es 2/6, ya que la probabilidad de obtener 2 o menos es la probabilidad acumulada de obtener 1 y 2 puntos; dado que no hay valores posibles hasta la puntuación 3, la función de distribución hasta el valor 3 permanece constante, con el valor 2/6, y una vez que se llega al valor 3, toma el valor 3/6. Para desarrollar lo explicado para todos los valores posibles, construimos la siguiente tabla. En las tres primeras columnas, se escriben los valores posibles, sus probabilidades simples y las probabilidades acumuladas. En las dos últimas columnas, se establece la función de distribución completa correspondiente en forma de tabla:

$$x$$	$$p(x)$$	$$p(x) \ cum$$	$$x$$	$$F(x)$$
			$$x < 1$$	$$0$$
$$1$$	$$1/6$$	$$1/6$$	$$1 \leq x < 2$$	$$1/6$$
$$2$$	$$1/6$$	$$2/6$$	$$2 \leq x < 3$$	$$2/6$$
$$3$$	$$1/6$$	$$3/6$$	$$3 \leq x < 4$$	$$3/6$$
$$4$$	$$1/6$$	$$4/6$$	$$4 \leq x < 5$$	$$4/6$$
$$5$$	$$1/6$$	$$5/6$$	$$5 \leq x < 6$$	$$5/6$$
$$6$$	$$1/6$$	$$6/6=1$$	$$ x \geq 6$$	$$6/6=1$$

**Función de distribución para una variable aleatoria continua ** En el caso de una variable aleatoria continua, la función de distribución va creciendo o acumulando probabilidad de forma continua. de esta forma, la función de distribución no avanza a saltos con en el caso de una distribución discreta, sino que se trata de un función continua estrictamente creciente en el intervalo de valores que toma la variable aleatoria. A partir de la función de densidad de probabilidad, en la que la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor inferior a un valor dado x viene dada por el área debajo de la función a la izquierda de dicho valor x, dicha probabilidad se calcula de la siguiente forma, proporcionando directamente la función de distribución en el conjunto de valores posibles (inf: valor más pequeño en el intervalo de valores posibles): $$F_X(x)=P[X \leq x]=\int_{inf}^xf(x)dx$$ Veamos un ejemplo. La producción diaria en toneladas de unafábrica se distribuye según la siguiente función de densidad: $$f_X(x)=2x \\ ; \\ 0