# Distribución uniforme continua

- Sitio: Ikusmira — enciclopedia en castellano de ciencias sociales y humanidades
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- Categoría: Matemática y estadística
- Publicado: 2025-04-15
- Autoría: Josemari Sarasola Ledesma — Editor coordinador; Profesor titular de escuela universitaria, Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea
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![distribucion_uniforme_continua.png](/images/gallery/2025-04/scaled-1680-/o53pA1BYz0F9aXnj-distribucion-uniforme-continua.png)

*Imagen: En una distribución uniforme continua, la probabilidad de que valor aleatorio resultante se encuentre en un intervalo c,d es el área rosada: (c-d)/(b-a). Todos los intervalos de igual longitud tienen la misma probabilidad.*

La **distribución uniforme continua** es una distribución de probabilidad continua relativa a un valor que ocurre de forma totalmente aleatoria, sin mayor o menor probabilidad que otro valor, dentro de un intervalo (a,b) de posibles valores. De esta forma, la probabilidad de intervalos diferentes pero igual longitud L es siempre la misma, más exactamente L/(b-a). Por ejemplo, en una distribución uniforme continua en el intervalo 0-10, la probabilidad de el valor resultante se encuentre entre 2 y 5 es (5-2)/(10-0)=0.3. Como en toda distribución continua, la probabilidad de obtener un valor puntual es matemáticamente 0 (intuitivamente se podría justificar diciendo que un punto no tiene extensión o que en el intervalo (a,b) hay infinitos puntos), aunque generalmente pueda realizarse una aproximación discreta.

La distribución uniforme continua se aplica para modelizar los **[números aleatorios](https://ikusmira.org/p/numeros-aleatorios)** en un intervalo concreto. Se utiliza también en los casos que exista **[equiprobabilidad](https://ikusmira.org/p/equiprobabilidad-sucesos-equiprobables)** para todos los valores dentro de intervalo y  en los casos en los que existe total **[incertidumbre](https://ikusmira.org/p/incertidumbre)** sobre cuales son los valores más probables de una variable, de forma que lo más adecuado es asignar la misma probabilidad a todos los posibles valores; en este sentido, como distribución de incertidumbre total o con información nula, la distribución uniforme continua es habitual en estadística bayesiana como distribución a priori.

Formalmente, se dice que una variable aleatoria sigue una distribución uniforme continua entre a y b cuando le corresponde la siguiente función de densidad:

$$f_X(x)=\cfrac{1}{b-a}\\ ; \\ a <\leq x \leq b$$

A dicha función de densidad le corresponde esta función de distribución:

$$F(x)=P(X\le x)=P(a\le X\le x)=\frac{x-a}{b-a}$$

A conotuación, mostramos la notación abreviada de una distribución uniforme continua con parámetros a y b y su esperanza y varianza. Nótese que la esperanza se encuentra exactamente en el **[punto medio](https://ikusmira.org/p/punto-medio)** entre ay b, al tratarse de una distribución simétrica:

$$ X \sim U(a,b) : \begin{cases}
  \mu=\cfrac{a+b}{2} \\[8pt]
 \sigma^2=\cfrac{(b-a)^2}{12}
  \end{cases}$$

**Ejemplo**

*Se ha estimado que las ventas de los sábados en un establecimiento comercial se sitúan entre 1.000 y 2.000 euros, sin que pueda afirmarse que existe un intervalo con mayor o menor probabilidad. Definir el modelo de probabilidad más adecuado para dichas ventas, calcular la probabilidad de que las ventas sean superiores a 1.800 euros y calcular la esperanza y la varianza de dichas ventas, siempre de acuerdo al modelo establecido.*

Dado que todos los valores de ventas se consideran equiprobables, el modelo de probabilidad más adecuado en este es una distribución unifomre continua entre 1.000 y 2.000:

$$X:\text{ventas sabatinas} \sim U(1000,2000)$$

La probabilidad de que las ventas de un sábado se encuentren entre 1.800 y 2.000 puede calcularse a través de tanto la función de densidad como la función de distribución:

$$P[X>1800]=P[1800<X<2000]=\int_{1800}^{2000} \cfrac{1}{2000-1000}dx=0.2$$

$$P[X>1800]=1-P[X<1800]=1-F(x=1800)=1-\cfrac{1800-1000}{2000-1000}=0.2$$

A continuación calculamos la esperanza y varianza de la distribución:

$$ X \sim U(1000,2000) : \begin{cases}
  \mu=\cfrac{1000+2000}{2}=1500 \\[8pt]
 \sigma^2=\cfrac{(2000-1000)^2}{12}
  \end{cases}$$

[Distribución uniforme discreta](https://ikusmira.org/p/distribucion-uniforme-discreta)

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Cómo citar: Sarasola, Josemari (2025). «Distribución uniforme continua». Ikusmira. https://ikusmira.org/p/distribucion-uniforme-continua/
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