# Distribución binomial negativa (distribución de Pascal)

- Sitio: Ikusmira — enciclopedia en castellano de ciencias sociales y humanidades
- URL canónica: https://ikusmira.org/p/distribucion-binomial-negativa-distribucion-de-pascal/
- Categoría: Matemática y estadística
- Publicado: 2024-05-25
- Autoría: Josemari Sarasola Ledesma — Editor coordinador; Profesor titular de escuela universitaria, Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea
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La **distribución binomial negativa o distribución de Pascal** (Blaise Pascal, 1623-1662) es la **[distribución de probabilidad](https://ikusmira.org/p/distribucion-de-probabilidad)** que representa, en una secuencia independiente de eventos binarios, denominados éxito y fracaso con probabilidades respectivas *p* y *q=1-p*, el número de fracasos hasta el acaecimiento del éxito *r*\-ésimo (consulta: **[proceso de Bernoulli](https://ikusmira.org/p/proceso-de-bernoulli)**). Su **[función de probabilidad](https://ikusmira.org/p/funcion-de-cuantia)** es la siguiente:

$$P[X=x]=q^x \times p^{r-1} \times \cfrac{(n+(r-1)!}{n! (r-1)!} \times p\\ ; \\ X]x=0,1,2,\ldots$$

Se representa de forma abreviada de la siguiente forma, concretando los parámetros *r* y *p*:

$$X \sim BN(r,p)$$

La **[distribución geométrica](https://ikusmira.org/p/distribucion-geometrica)** es un caso especial de la distribución binomial negativa, con *r=1*. Por otro lado, la distribución binomial negativa es la suma de *r* distribuciones geométricas.

Como ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de obtener 6 piezas sin defectos hasta obtener 4 piezas defectuosas, siendo la probabilidad de una pieza defectuosa 0.1?

$$P[X=x]=0.9^6 \times 0.1^3 \times \cfrac{9!}{9!3!} \times 0.1$$

La esperanza y la varianza de la distribución binomial negativa son las siguientes, fácilmente deducibles del hecho de que la suma de r distribuciones geométricas da lugar a una distribución binomial negativa:

$$E[X]=\cfrac{rq}{p}\\ ; \\ var[X]=\cfrac{rq}{p^2}$$

[Distribución de Poisson](https://ikusmira.org/p/distribucion-de-poisson)

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Cómo citar: Sarasola, Josemari (2024). «Distribución binomial negativa (distribución de Pascal)». Ikusmira. https://ikusmira.org/p/distribucion-binomial-negativa-distribucion-de-pascal/
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