# Desigualdad de Chebychev

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- Categoría: Matemática y estadística
- Publicado: 2024-12-24
- Autoría: Josemari Sarasola Ledesma — Editor coordinador; Profesor titular de escuela universitaria, Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea
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![Txebixev_01.png](/images/gallery/2024-12/scaled-1680-/IbpuggZA73qs31Iq-txebixev-01.png)La **desigualdad de Bienaymé-Chebychev, comúnmente denominada sin más desigualdad de Chebychev, desigualdad de Tchebychev o desigualdad de Chebyshev**, es una fórmula que proporciona una cota máxima para la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria se sitúe mas allá de una distancia dada a partir de la media o  valor esperado de la variable, a partir únicamente de conocer el valor esperado y varianza de la distribución. Concretamente, para una variable aleatoria con varianza finita \(\sigma^2\) y un valor \(\epsilon>0\), la desigual de Chebychev establece que:

$$P[|X-\mu| \geq \epsilon] \leq \cfrac{\sigma^2}{\epsilon^2}$$

La desigualdad anterior establece un valor máximo para la probabilidad de las colas mas allá de una distancia \(\epsilon\) a partir de la media \(\mu\). Alternativamente, la fórmula puede modificarse para acotar la probabilidad de un intervalo central alrededor de la media:

$$P[\mu-\epsilon<X<\mu+\epsilon]=P[|X-\mu| < \epsilon] \geq 1-\cfrac{\sigma^2}{\epsilon^2}$$

Al requerir únicamente de la media y varianza de la distribución, la desigualdad de Chebychev es especialmente útil en el caso de que no se conozca la distribución exacta de la variable, pero sí su media y varianza.

**Formulación alternativa**

Se suele utilizar también una formulación de la desigualdad que establece la distancia desde la media que define el intervalo como un número de desviaciones típicas. De este modo, haciendo \(\epsilon=k\sigma\), las fórmulas de la desigualdad de Chebychev quedan de la siguiente forma, para \(k>0\):

-   para la probabilidad de las colas:

$$P[|X-\mu| \geq k\sigma] \leq \cfrac{1}{k^2}$$

-   para la probabilidad del intervalo central:

$$P[|X-\mu|  < k\sigma] \geq 1-\cfrac{1}{k^2}$$

**Ejemplos de aplicación**

*La producción diaria en una fábrica se distribuye según una ley de probabilidad desconocida, pero se ha estimado que una media de 100 toneladas y una desviación típica de 10 toneladas. Se desea calcular la probabilidad de que en un día la producción se encuentre entre 70 y 130 toneladas, con el objetivo de que controlar la situación del almacén.*

El intervalo del que se quiere calcular la probabilidad es un intervalo central respecto a la media, con una distancia máxima de 30 unidades a la media. De esta forma:

$$P[70<X<130]=P[|X-100| < 30] \geq 1-\cfrac{10^2}{30^2}=0.888$$

De este modo, puede afirmarse que la probabilidad de que la producción se encuentre en el intervalo 70-130 es mayor o igual a 0.888.

* * *

*La temperatura media en un lugar para el mes de agosto se distribuye con un valor esperado de 15 grados y una desviación típica de 2 grados. Se desea determinar la probabilidad de que la temperatura se aleje de dicho valor esperado 4 desviaciones típicas.*

El planteamiento del problema nos lleva a la utilización directa de la formulación de la desigualdad en términos del número de desviaciones típicas:

$$P[|X-15| \geq 4\sigma] \leq \cfrac{1}{4^2}=0.0625$$

De esta forma la probabilidad pedida se puede asegurar que es inferior o igual a 0.0625.

**Exactitud de la cota de Chebychev**

Hay que subrayar que la probabilidad que proporciona la desigualdad de Cehbychev es una cota máxima o mínima, según se utilice la fórmula para las colas o para el intervalo central respectivsamente. Por ejemplo, si la probabilidad del intervalo central resulta mayor o igual que 0.75 aplicando la fórmula de Chebychev, esto quiere decir que la probabilidad exacta puede ser 0.75, 0.99 o incluso 1 dependiendo de la distribución exacta.

A continuación, para ilustrar la aproximación de la cota de Chebychev a la probabilidad exacta de distribuciones concretas, se calcula la probabilidad para diferentes intervalos notables según la desigualdad de Chebychev, la distribución normal y la distribución uniforme entre 0 y 1:

| Valor de k
 |
Cota de probabilidad

de Chebychev para las colas: 1/k2

 | Distribución normal | Distribución uniforme U(0,1)
 |
| :-: | :-: | :-: | :-: |
| 1 | ≥0 | 0.6827 | 0.5772 |
| 1.25 | ≥0.36 | 0.7887 | 0.7215 |
| 1.5 | ≥0.55 | 0.8664 | 0.8658 |
| 2 | ≥0.75 | 0.9545 | 1 |
| 2.5 | ≥0.84 | 0.9876 | 1 |
| 3 | ≥0.889 | 0.9973 | 1 |
| 4 | ≥0.9375 | 0.99994 | 1 |

 Como puede verse, para estas dos distribuciones la cota de Chebychev van siendo más exacta según se va incrementando la distancia en desviaciones típicas desde el valor esperado.

[Desigualdad de Markov](https://ikusmira.org/p/desigualdad-de-markov)

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Cómo citar: Sarasola, Josemari (2024). «Desigualdad de Chebychev». Ikusmira. https://ikusmira.org/p/desigualdad-de-chebychev/
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